Dérivée de la fonction exponentielle
La dérivée de la fonction exponentielle naturelle est
donc cette fonction est sa propre dérivée !
Explication
Nous commençons par la fonction exponentielle
f (x) = ax
En substituant la définition de la dérivée, on obtient
Vous pouvez l'écrire comme
Pour x = 0, cela devient
Il s'agit d'une constante, car il n'y a pas de x dans celle-ci. La valeur ne dépend que de a, la base. On peut donc écrire
On veut savoir pour quelle valeur de a la fonction f ′(0) = 1, car alors f ′(x) = ax, et la fonction est sa propre dérivée. On calcule donc
Multiplier par h
En déplaçant les termes, on obtient
L'exponentiation donne
Simplifier
Prenez , et puisque h → 0, cela donne n → ∞, et ainsi
Cette valeur est appelée le nombre e - d'exposant. Pour ce nombre, vous obtenez
et la fonction exponentielle naturelle est sa propre dérivée !